Modèle de heston calibration

L`évaluation numérique de l`intégrale de la transformée de Fourier inverse dans (12) ou (16) peut être assez chronophage, ce qui est le plus vif dans le processus d`étalonnage qui peut nécessiter des milliers de ces évaluations. Pour trouver une approximation rapide appropriée est donc d`intérêt. Au lieu de la solution de fonction caractéristique, on peut utiliser par exemple l`expansion dite de Edgeworth du prix d`option d`appel européen (6), où les probabilités P1 et P2 sont approximées à l`aide des approximations dites de sartorelli, voir Ribeiro et Poulsen [ 26]. cette approche conduit à une méthode rapide de tarification des options (selon Ribeiro et Poulsen une extension de septième ordre est environ trois fois plus rapide que l`intégration Heston et il fonctionne raisonnablement bien dans la fourchette de 80-120% de l`argent). De nombreux autres modèles de volatilité stochastique ont été introduits depuis le papier original Heston [5]. La première extension possible peut impliquer des paramètres dépendant du temps. Un modèle avec des paramètres constants de pièce est étudié par Mikhailov et Nögel [10], un modèle d`Heston dépendant du temps linéaire est étudié par Elices [45] et un cas plus général est introduit par Benhamou et coll. [46], qui calculent également une approximation au prix d`option. Cependant, Bayer, Fritz et Rassembal [47] affirment que la forme globale de la surface de volatilité ne change pas dans le temps et que les paramètres doivent également rester constants. Les processus d`Affine Jump-diffusion gardent les paramètres originaux constants et ajoutent des sauts au processus d`immobilisation sous-jacent, à la volatilité ou aux deux, voir par exemple le papier de Duffie, Pan et Singleton [48]. Une attention particulière est aujourd`hui versée aux modèles avec la volatilité fractionnaire, nous nous référons au papier récent par Pospíšil et Sobotka [49] où un nouveau modèle de diffusion de saut de volatilité stochastique fractionnaire approximative est présenté et comparé au modèle d`Heston. Dans [50], les auteurs étudient également la robustesse et l`analyse de sensibilité de ces deux modèles. Compte tenu de la complexité importante cependant, vous devez comprendre votre motivation et vos exigences.

Demandez-vous pourquoi calibrer Heston sur les séries chronologiques? Pourquoi une variante de GARCH plus simple n`est pas suffisante? Dans [40], Van Haastrecht et Pelser ont commenté le schéma de Kahl-Jäckel mis en œuvre de la manière suivante. Conditionnel à temps S une discrétisation du processus de cours de l`action log S pour t > s (avec δ t: = t − s) se lit exactement ln (S (t)) = ln (s)) + [r − v (s) + v (t) 4] ΔT + ρV (s) ZVΔt + + 12 (v (s) + v (t)) (ZS + ρZV) ΔT + ρl Δt2 (ZV2 − 1). Nous avons également laissé la notation originale. Cela ne correspond cependant pas à notre mise en œuvre du régime. Le prix Heston log S vient de la formule de Kahl et Jäckel [42], exactement ln (STN + 1) = ln (STN) + μΔtn − 14 (Vtn2p + VTN + 12p) ΔTn + ρVtnpΔZn + + 12 (Vtnp + VTN + 1P) (ΔWn − ρΔZn) +12 ρpVtnp − 1bn ⋅ (ΔZn2 − ΔTn). Pour le modèle Heston, nous avons le paramètre p = 12. Notez également que ΔW = ZSΔt et ΔZ est ZVΔt pour correspondre à la notation un bit aussi bien. Ici le “prix” se rapporte à celui des options de vanille. Sous le modèle Heston, ce prix est donné analytiquement, mais l`expression est trop compliquée. Ceci inhibe la dérivation du gradient de la fonction objective par rapport aux paramètres Heston. La forme analytique du gradient n`a pas été disponible depuis longtemps et, par conséquent, l`étalonnage a été un problème difficile dans les bureaux de négociation. Les praticiens l`ont donc souvent traité à l`aide d`un dégradé numérique, du solveur intégré Excel ou d`optimiseurs stochastiques.

Ces méthodes sont trop lentes ou instables, car de nombreux auteurs ont rapporté que leurs résultats variaient en grande partie avec la supposition initiale. En outre, les praticiens ont appliqué de nombreuses règles heuristiques ou asymptotiques pour faire face aux 5 paramètres. Heston S.L., une solution de forme fermée pour les options avec la volatilité stochastique avec des applications à l`obligation et les options monétaires.

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